Неравенство Бернулли

Для x ≥ -1 имеет место неравенство: (1 + x)n ≥ 1 + nx, n ∈ Z +.

Подтверждение

Докажем при помощи способа математической индукции.

1. База индукции.

Для n = 0 имеем 1 ≥ 1.

База испытана.

2. Переход.

Пусть для некого k ∈ N имеет Неравенство Бернулли место

(1 + x)k ≥ 1 + kx;

Докажем, что (1 + x)(k + 1) ≥ 1 + (k + 1)x;

Исходя из перехода:

(1 + x)(k + 1) = (1 + x)k(1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x) ≥ 1 + kx + x + kx2 ≥ 1 + kx + x = 1 + (k + 1)x Неравенство Бернулли.

Переход подтвержден, а означает и все утверждение правильно. Что и требовалось обосновать.

Отметим, что равенство достигается в последующих случаях:


neskolko-stranic-istorii-3-glava.html
neskolko-stranic-iz-dnevnika-avtora-nauchno-proizvodstvennoe-obedinenie-elektronmash.html
neskolko-urokov-tancev-i-striptiza.html